Universidad De Los Ángeles Puebla
Ingeniería En
Sistemas Computacionales
Algebra superior 2
NOMBRE DE
ALUMNO: JUANA HERNANDEZ CORTEZ
NOMBRE
DEL ASESOR: ING. INGNACIO
ROSALES ORTIZ
2do Er
Semestre
2014-08-02
Blog final algebra superior
Algoritmo de la división
En matemáticas, y más
precisamente en la aritmética, la división euclidiana (o euclídea),
también llamada algoritmo de
la división, es un teorema que asegura que «el proceso habitual de división entre números enteros»
puede llevarse a cabo y que el resultado, además, es único.
Un «algoritmo de
división entera» es cualquier método efectivo que produce un cociente y un
residuo. Existen numerosos métodos para efectuar estos cálculos, como por
ejemplo la división larga, la factorización de
enteros o la aritmética modular. El algoritmo de la división euclídea (para números
enteros) se encuentra a la base de numerosos resultados de la aritmética (como
por ejemplo el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros) y la teoría de números; en álgebra abstracta, está relacionado con el dominio euclídeo.
Dados dos números
naturales, el dividendo, m, y el divisor, d,
que debe ser mayor que cero, llamamos cociente, q al mayor de los números que multiplicado por el divisor es menor o igual
que el dividendo.
Llamamos resto, r, a la diferencia entre el dividendo
y el producto del cociente y el divisor.
El resto verifica
la inecuación 
.
.
De la ecuación
anterior, se deduce inmediatamente la siguiente:
Ejemplos
 |
 |
|
 |
 |
|
 |
lo que significa
que 
, con 
, con
ejmplos:
La división es una operación numérica que se
utiliza para resolver problemas como el siguiente: Si se reparten 20 niños en
cuatro coches, ¿cuántos niños irán en cada coche?
4 x 5 = 20;
entonces, 20 ÷ 4 = 5 niños en cada coche.
Soluciones
enteras
Es fácil ver que si llamamos Z1 y Z2 a
esas dos soluciones, deberá cumplirse que a1=Z1+Z2 y a2=-Z1Z2. Así de
simple: si deseas unas soluciones determinadas (aquí enteras) basta que tomes
como coeficiente de X(n-1) en la ecuación de recurrencia su suma y como segundo
coeficiente su producto cambiado de signo:
X(n)=(Z1+Z2)X(n-1)-Z1Z2X(n-2)
Por ejemplo, si deseamos generar mediante recurrencia X(n)=5n-1n, el primer paso sería elegir como a1 su suma 6 y como a2 su producto 5 tomado negativo.
Así de simple: si deseas unas soluciones determinadas (aquí enteras) basta que tomes como coeficiente de X(n-1) en la ecuación de recurrencia su suma y como segundo coeficiente su su producto 5 tomado negativo:
X(n)=6X(n-1)-5X(n-2)
Los términos iniciales los elegiríamos por sustitución X(0)=50-10=1-1=0 y X(1)= 51-11=5-1=4. Lo volcamos todo en nuestra hoja de cálculo recurre_lineal y obtendremos:
X(n)=(Z1+Z2)X(n-1)-Z1Z2X(n-2)
Por ejemplo, si deseamos generar mediante recurrencia X(n)=5n-1n, el primer paso sería elegir como a1 su suma 6 y como a2 su producto 5 tomado negativo.
Así de simple: si deseas unas soluciones determinadas (aquí enteras) basta que tomes como coeficiente de X(n-1) en la ecuación de recurrencia su suma y como segundo coeficiente su su producto 5 tomado negativo:
X(n)=6X(n-1)-5X(n-2)
Los términos iniciales los elegiríamos por sustitución X(0)=50-10=1-1=0 y X(1)= 51-11=5-1=4. Lo volcamos todo en nuestra hoja de cálculo recurre_lineal y obtendremos:
El algoritmo de Euclides
El máximo común divisor de dos enteros puede obtenerse escogiendo el
mayor de todos los divisores comunes. Hay un proceso más
eficiente que utiliza repetidamente el algoritmo de la división. Este método se
llama algoritmo de Euclides.
El algoritmo de Euclides se describe de la forma
siguiente: Dados dos enteros a y b cuyo máximo
común divisor se desea hallar, y asumiendo que a b > 0,
(El método funciona también si a y b son
negativos). Basta trabajar con los valores absolutos de estos
números, debido a que M.C.D (|a|, |b|) =M.C.D (a,b) se
siguen los siguientes pasos:
a) Se usa el
algoritmo de la división para obtener a = q1b + r2 con
0 r1 < b. Si r1 = 0, entonces ba y M.C.D.(a, b) = b.
0 r1 < b. Si r1 = 0, entonces ba y M.C.D.(a, b) = b.
b) Si r1 0
se divide b por r1 y se producen
enteros q2y r2 que satisfacen b =q2 r1 + r2
con 0 r2 < r1. Si r2 = 0
el proceso termina y M.C.D.(a, b) = r1.
c) Si r2 0
se procede a dividir r2 por r1 obteniendo r1 =
q3 r2 + r3 con
0 r3< r2.
d) Este proceso
continua hasta que algún residuo cero aparece. Esto ocurre
porque en la secuencia b > r1 > r2
> ..... 0 no puede haber más de b
enteros. Es decir, el proceso es finito.
e) En estas circunstancias,
el máximo común divisor de a y b no es más
que el último residuo no cero del proceso anterior.
Esto lo garantiza la aplicación reiterada
del siguiente teorema.
8.7.1 Teorema Sí a y b son enteros positivos con
a b y si a = q b r entonces M.C.D.(a, b) = M.C.D.( b,
r ).
Algoritmo
original de Euclides
En la concepción griega
de la matemática, los números se entendían como magnitudes geométricas. Un tema
recurrente en la geometría griega es el de la conmensurabilidad de dos segmentos: dos segmentos (números) AB y CD son conmensurables cuando existe un
tercer segmento PQ el cual cabe exactamente un número
entero de veces en los primeros dos, es decir, PQ «mide» (mensura: medida) a los
segmentos AB y CD.
No cualquier par de
segmentos es conmensurable, como encontraron los pitagóricos cuando establecen
que el lado y la diagonal de un cuadrado no son conmensurables, pero en el caso
de dos segmentos conmensurables se desea hallar la mayor medida común posible.
Euclides describe en la proposición VI
I.2 de sus Elementos un método que permite hallar la mayor
medida común posible de dos números (segmentos) que no sean primos entre sí,
aunque de acuerdo a la época tal método se explica en términos geométricos, lo
que se ilustra en la siguiente transcripción.
Para
encontrar la máxima medida común de dos números que no sean primos entre sí.
Sean AB y CD los dos números que no son primos uno
al otro. Se necesita entonces encontrar la máxima medida común de AB y CD.
Si CD mide AB entonces es una medida común puesto
que CD se mide a sí mismo. Y es manifiesto
que también es la mayor medida pues nada mayor a CD puede medir a CD. Pero si CD no mide a AB entonces algún número quedará de ABy CD, el menor siendo
continuamente restado del mayor y que medirá al número que le precede. Porque
una unidad no quedará pues si no es así, AB y CD serán primos uno del otro [Prop.
VII.1], lo cual es lo contrario de lo que se supuso.
Por
tanto, algún número queda que medirá el número que le precede. Y sea CD midiendo BE dejando EA menor que sí mismo y sea EA midiendo DF dejando FC menor que sí mismo y sea FC medida de AE. Entonces, como FC mide AE yAE mide DF, FC será entonces medida de DF. Y también se mide a sí
mismo. Por tanto también medirá todo CD.
Y CDmide a BE. Entonces CF mide a BE y también mide a EA. Así mide a todo BA y también mide a CD. Esto es, CF mide tanto a AB y CD por lo que es una medida común de AB y CD.
Afirmo
que también es la mayor medida común posible porque si no lo fuera, entonces un
número mayor que CF mide a los números AB y CD,
sea éste G. Dado que G mide a CD y CD mide a BE, G también mide a BE. Además, mide a todo BApor lo que mide también al
residuo AE. Y AE mide a DF por lo que G también mide a DF. Mide también a todo DC por lo que mide también al residuo CF, es decir el mayor mide al
menor, lo cual es imposible.
Por tanto, ningún número mayor a CF puede medir a los números AB y CD.
Entonces CF es la mayor medida común deAB y CD,
lo cual se quería demostrar.
En lenguaje moderno, el algoritmo se describe como sigue:
1.
Dados dos segmentos AB y CD (con AB>CD),
restamos CD de AB tantas veces como sea posible. Si no
hay residuo, entonces CD es la máxima medida común.
2.
Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD. Si al final no queda un
residuo, EAes la medida
común. En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a EA.
3.
El proceso se repite hasta que
en algún momento no se obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es
la mayor medida común.
El
hecho de que los segmentos son conmesurables es clave para asegurar que el
proceso termina tarde o temprano.
Factorización única
Números primos
Un número primo es un número entero mayor que 1 que sólo es dividido exactamente por 1 y él
mismo. Lee más sobre números primos y compuestos.
Los primeros
números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17..., y tenemos una lista de números primos si necesitas más.
Factores
Los "factores" son los números que multiplicas juntos para
obtener otro número:
Factorización en
primos
"Factorizar
en primos" es averiguar qué
numeros primos tienes que
multiplicar juntos para obtener el número original.
Ejemplo 1
¿Cuáles
son los factores primos de 12?
Es
mejor empezar por el número primas pequeño, que es 2, así que comprobamos:
12 ÷ 2 = 6
Pero
6 no es primo así que tenemos que factorizarlo también:
6 ÷ 2 = 3
Y
3 es primo, así que:
12 = 2 × 2 × 3
Como ves, cada factor es un número primo, así que la
respuesta es correcta - la factorización en primos de 12 es 2 × 2 × 3, también
podemos escribir 22 ×
3
Congruencias
Congruencia,
del latín congruentia, es la coherencia o relación lógica. Se trata de una
característica que se comprende a partir de un vínculo entre 2 o más cosas. Por ejemplo: “No
tiene congruencia que quieras hacerle un regalo a la persona con quien
mantienes un litigio judicial”, “El juez detectó varias faltas
de congruencia entre las declaraciones del acusado y las pruebas”, “Cada
parte de este sistema tiene congruencia con las demás”.
Para la matemática, la
congruencia es la expresión algebraica que expresa la igualdad de los restos de
las divisiones de dos números congruentes por su módulo (un número natural distinto de 0). Esta expresión se
representa con tres rayas horizontales entre los números y, si les asígnanoslas variables a y b, se lee de la siguiente forma: a es congruente con b módulo m.
La congruencia matemática,
por lo tanto, refiere a dos números enteros que tienen el mismo resto al dividirlos por un número
natural distinto de cero (el módulo).
Por otro lado, para la identidad matemática, el concepto de congruencia puede hacer
referencia al pequeño teorema de Fermat (uno de los más prominentes en
relación con la divisibilidad), que presenta la siguiente fórmula: si tenemos
el numero primo, entonces para todo número natural a se da que a elevado a la pes
congruente con a módulo p.
Este mismo teorema suele presentarse de otra forma,
aunque ambas fórmulas son equivalentes: si tenemos el número primo p,
entonces para todo a, número natural primo relativo
con p, a elevado a la p-1
es congruente con 1 módulo p.
En otras palabras, si restamos a al resultado de elevar dicho número a
la p,
obtenemos un número divisible por p.
Además, el término
congruencia se usa para expresar una ecuación con un mínimo de una incógnita; en
este caso, se pretende saber si existe una solución, o más de una.
Para la
congruencia vista desde el punto de la geometría elemental, véase congruencia
(geometría).
Congruencia es un término,
usado en la teoría de números,
para designar una relación entre dos números enteros 
que tienen el mismo resto mediante una división euclidiana1 por
un número natural 
, llamado el módulo;
esto se denota con la notación
que tienen el mismo resto mediante una división euclidiana1 por
un número natural , llamado el módulo;
esto se denota con la notación
·
es congruente con 
módulo 
es congruente con módulo
·
El resto de entre es el mismo resto de entre
entre es el mismo resto de entre 
·
se puede escribir como la suma de y un múltiplo de
se puede escribir como la suma de y un múltiplo de 
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos
ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso
tenemos elpequeño teorema
de Fermat que asegura
que para cada primo 
y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:
y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una
congruencia tiene
solución y en caso
afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia 
, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por 
y 
, es decir 
puede ser cualquier entero de las sucesiones 
y 
. Contrariamente la congruencia
, no tiene solución.
, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y . Contrariamente la congruencia, no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones
Arithmeticae en
1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos
hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos,
etc.
El campo de los números reales
En matemáticas, los números reales (designados por 
) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes1 (1970) no
se pueden expresar mediante una fracción de dos
enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas,
tales como: 
, el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler
en el siglo XVIII.1
) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes1 (1970) no
se pueden expresar mediante una fracción de dos
enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas,
tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler
en el siglo XVIII.1
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias
formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos
formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para
el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto
que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y
se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición
precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron
evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual
consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del
concepto de número real.2 En una
sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales
actualmente: clases de
equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de
Dedekind.
Los números racionales
En matemáticas, se
llama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y
un natural positivo,1 es decir,
una fracción común a/b con
numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte
de un todo. El conjunto de los
números racionales se denota por Q (o bien 
, en negrita de pizarra)
que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este
conjunto de números incluye a los números enteros (
), y es un subconjunto de los números reales ().
, en negrita de pizarra)
que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este
conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10
(sistema
decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o
cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión
finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a
diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones
equivalentes a una
dada; de todas ellas, se toma comorepresentante
canónico de dicho
número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional–
son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de
equivalencia sobre .
.
Estructura de campo ordenado decimales periódicos y racionales
Ordenar decimales
Ordenar decimales puede ser
complicado. Es porque normalmente vemos dos números como 0,42 y 0,402 y decimos
que 0,402 debe de ser mayor porque tiene más cifras.
Si sigues este método aprenderás a ver qué
decimales son más grandes.
Ejemplo
Ordena estos decimales:
0,402
0,42 0,375 1,2 0,85
La tabla sería así:
|
Unidades
|
Punto decimal
|
Décimos
|
Centésimos
|
Milésimos
|
|
0
|
·
|
4
|
0
|
2
|
|
0
|
·
|
4
|
2
|
0
|
|
0
|
·
|
3
|
7
|
5
|
|
1
|
·
|
2
|
0
|
0
|
|
0
|
·
|
8
|
5
|
0
|
|
Compara las unidades.
|
 |
Hay un 1 y después hay ceros, así que
1,2 es el número más grande (escríbelo donde vayas a poner la respuesta y
táchalo de la tabla).
|
|
Compara
las décimas.
|
|
El 8 es
el mayor, así que 0,85 es el siguiente en valor.
|
|
Hay dos
números con 4 "décimas" así que pasamos a las
"centésimas" para desempatar
|
|
Un número tiene un 2 y el
otro un 0 en las centésimas, así que el 2 gana. Entonces, 0,42 es mayor que
0,402
|
|
Volvemos
atrás a comparar las décimas
|
|
0,375 es
el siguiente, le sigue 0,2
|
Así que los decimales ordenados de mayor a menor son:
1,2
0,85 0,42 0,402 0,375
Reales de raíces positivos
En los últimos días se ha nombrado en los
comentarios del post Una posible
demostración maravillosa del UTF un resultado conocido
como regla de los signos
de descartes relacionado con el número de soluciones positivas de una
ecuación polinómica. Este artículo va a servir para presentar esta regla, dar
alguna pincelada de su historia y
también para demostrarla.
Qué es la regla de los signos de Descartes
Supongamos que tenemos el polinomio
. Si
igualamos 
a 0 obtenemos la siguiente ecuación
polinómica:
. Si
igualamos a 0 obtenemos la siguiente ecuación
polinómica:
Ordenemos los coeficientes según el grado del
monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de
grado mayor. Obtendríamos la siguiente lista:
Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres
cambios de signo: del 3al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7.
Llamando 
al número de cambios de
signo en la lista de coeficientes del polinomio , tendríamos entonces
que en este caso 
.
al número de cambios de
signo en la lista de coeficientes del polinomio , tendríamos entonces
que en este caso .
Por otra parte, si utilizamos un programa informática
para calcular las raíces de dicha ecuación (bueno, aproximaciones de las
mismas), obtenemos que tiene una solución real positiva y cuatro soluciones
complejas (dos parejas compleja-conjugada).
Lo que hace la regla de los signos de Descartes
es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una
ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación
Exponentes racionales
La potenciación es
una operación
matemática entre dos términos denominados: base a y
exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado
a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al
cuadrado o el
3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la
base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del
anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número
enteroo
cero.
Se llama potencia a una expresión de la forma 
, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía
según el conjunto numérico al que pertenezca el
exponente.
, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía
según el conjunto numérico al que pertenezca el
exponente.
Exponente entero[editar]
Cuando el exponente es un número natural n, este
indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como
pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Valor absolutos
En matemática, el valor
absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo,
sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de
valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos
matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo
o cero, pero nunca negativo. En general, el
valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre
ellos. De hecho, el concepto de función
distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una
generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
es siempre positivo
o cero, pero nunca negativo. En general, el
valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre
ellos. De hecho, el concepto de función
distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una
generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
Aproximación
Aproximación es una
representación inexacta que, sin
embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.
Aunque en matemáticas la aproximación típicamente se aplica a números, también puede aplicarse a objetos tales como las funciones matemáticas, figuras geométricas o leyes físicas.
En casos de información incompleta, que impide el uso de representaciones
exactas, pueden usarse aproximaciones. Por otra parte existen problemas que son
demasiado complejos para resolverse analíticamente, o bien imposibles de
resolver con las herramientas disponibles. En estos casos, una aproximación
puede arrojar una solución suficientemente exacta, reduciendo
significativamente la complejidad del problema y el costo de su solución.
Por ejemplo, los físicos muchas veces aproximan la forma de la Tierra como esfera aunque son posibles representaciones más exactas (geoide), porque muchos fenómenos físicos —p.ej. la gravedad— son mucho más fáciles de calcular para una esfera que
para cuerpos de otras formas menos regulares.
La aproximación puede efectuarse en pasos sucesivos. Por
ejemplo, es difícil analizar exactamente el movimiento de varios planetas en
órbita alrededor de una estrella (Problema de los tres cuerpos), a causa de las interacciones gravitacionales entre
ellos, por lo que se efectúa una solución aproximada realizando iteraciones. Durante la primera interacción, se ignoran las
interacciones gravitacionales entre los planetas y la estrella se supone fija.
Si se requiere una solución más precisa, se realiza otra interacción, usando
las posiciones y velocidades de los planetas que se obtuvieron en la primera
iteración, pero agregando una interacción gravitacional de primer orden entre
los cuerpos. Este proceso puede repetirse hasta obtener una solución
suficientemente precisa.
El tipo de aproximación a emplear depende de la información disponible, del grado de exactitud requerido, de la
sensibilidad del problema a estos datos y del ahorro (usualmente de tiempo y de
esfuerzo) que permite lograr.
