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Universidad De Los Ángeles Puebla

Ingeniería En Sistemas Computacionales

Algebra superior 2

NOMBRE DE ALUMNO: JUANA HERNANDEZ CORTEZ

NOMBRE DEL ASESOR: ING. INGNACIO ROSALES ORTIZ

2do Er Semestre

2014-08-02

Blog final algebra superior

Algoritmo de la división

En matemáticas, y más precisamente en la aritmética, la división euclidiana (o euclídea), también llamada algoritmo de la división, es un teorema que asegura que «el proceso habitual de división entre números enteros» puede llevarse a cabo y que el resultado, además, es único.

Un «algoritmo de división entera» es cualquier método efectivo que produce un cociente y un residuo. Existen numerosos métodos para efectuar estos cálculos, como por ejemplo la división larga, la factorización de enteros o la aritmética modular. El algoritmo de la división euclídea (para números enteros) se encuentra a la base de numerosos resultados de la aritmética (como por ejemplo el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros) y la teoría de números; en álgebra abstracta, está relacionado con el dominio euclídeo.

Dados dos números naturales, el dividendo, m, y el divisor, d, que debe ser mayor que cero, llamamos cociente, q al mayor de los números que multiplicado por el divisor es menor o igual que el dividendo.

$q \; = \; \max \ \{ \ x \in N \;| \; x d \le m \ \}$

Llamamos resto, r, a la diferencia entre el dividendo y el producto del cociente y el divisor.

$r \; = \; m - q d$

El resto verifica la inecuación $0 \le r < d$ .

De la ecuación anterior, se deduce inmediatamente la siguiente:

$m \; = \; q d + r$

Ejemplos

$320 \,$		$21 \,$
$110 \,$		$15 \,$
$5 \,$

lo que significa que $320 = (21\times 15) + 5$ , con $0\leq 5< \mid 21 \mid$

ejmplos:

La división es una operación numérica que se utiliza para resolver problemas como el siguiente: Si se reparten 20 niños en cuatro coches, ¿cuántos niños irán en cada coche?

4 x 5 = 20; entonces, 20 ÷ 4 = 5 niños en cada coche.

Soluciones enteras

Es fácil ver que si llamamos Z₁ y Z₂a esas dos soluciones, deberá cumplirse que a₁=Z₁+Z₂ y a₂=-Z₁Z₂. Así de simple: si deseas unas soluciones determinadas (aquí enteras) basta que tomes como coeficiente de X(n-1) en la ecuación de recurrencia su suma y como segundo coeficiente su producto cambiado de signo:

X(n)=(Z₁+Z₂)X(n-1)-Z₁Z₂X(n-2)

Por ejemplo, si deseamos generar mediante recurrencia X(n)=5ⁿ-1ⁿ, el primer paso sería elegir como a₁ su suma 6 y como a₂su producto 5 tomado negativo.

Así de simple: si deseas unas soluciones determinadas (aquí enteras) basta que tomes como coeficiente de X(n-1) en la ecuación de recurrencia su suma y como segundo coeficiente su su producto 5 tomado negativo:

X(n)=6X(n-1)-5X(n-2)

Los términos iniciales los elegiríamos por sustitución X(0)=5⁰-1⁰=1-1=0 y X(1)= 5¹-1¹=5-1=4. Lo volcamos todo en nuestra hoja de cálculo recurre_lineal y obtendremos:

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El algoritmo de Euclides

El máximo común divisor de dos enteros puede obtenerse escogiendo el mayor de todos los divisores comunes. Hay un proceso más eficiente que utiliza repetidamente el algoritmo de la división. Este método se llama algoritmo de Euclides.

El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: Dados dos enteros a y b cuyo máximo común divisor se desea hallar, y asumiendo que a b > 0, (El método funciona también si a y b son negativos). Basta trabajar con los valores absolutos de estos números, debido a que M.C.D (|a|, |b|) =M.C.D (a,b) se siguen los siguientes pasos:

a) Se usa el algoritmo de la división para obtener a = q₁b + r₂ con
0  r₁< b. Si r₁= 0, entonces ba y M.C.D.(a, b) = b.

b) Si r₁ 0 se divide b por r₁ y se producen enteros q₂y r₂ que satisfacen b =q₂r₁ + r₂ con 0 r₂ < r₁. Si r₂= 0 el proceso termina y M.C.D.(a, b) = r_1.

c) Si r₂ 0 se procede a dividir r₂ por r₁obteniendo r₁= q₃ r_{2 +}r₃con 0 r₃< r_2.

d) Este proceso continua hasta que algún residuo cero aparece. Esto ocurre porque en la secuencia b > r₁ > r₂ > .....  0 no puede haber más de b enteros. Es decir, el proceso es finito.

e) En estas circunstancias, el máximo común divisor de a y b no es más que el último residuo no cero del proceso anterior.

Esto lo garantiza la aplicación reiterada del siguiente teorema.

8.7.1 Teorema Sí a y b son enteros positivos con a  b y si a = q b  r entonces M.C.D.(a, b) = M.C.D.( b, r ).

Algoritmo original de Euclides

En la concepción griega de la matemática, los números se entendían como magnitudes geométricas. Un tema recurrente en la geometría griega es el de la conmensurabilidad de dos segmentos: dos segmentos (números) AB y CD son conmensurables cuando existe un tercer segmento PQ el cual cabe exactamente un número entero de veces en los primeros dos, es decir, PQ «mide» (mensura: medida) a los segmentos AB y CD.

No cualquier par de segmentos es conmensurable, como encontraron los pitagóricos cuando establecen que el lado y la diagonal de un cuadrado no son conmensurables, pero en el caso de dos segmentos conmensurables se desea hallar la mayor medida común posible.

Euclides describe en la proposición VI I.2 de sus Elementos un método que permite hallar la mayor medida común posible de dos números (segmentos) que no sean primos entre sí, aunque de acuerdo a la época tal método se explica en términos geométricos, lo que se ilustra en la siguiente transcripción.

Para encontrar la máxima medida común de dos números que no sean primos entre sí.

Sean AB y CD los dos números que no son primos uno al otro. Se necesita entonces encontrar la máxima medida común de AB y CD.

Si CD mide AB entonces es una medida común puesto que CD se mide a sí mismo. Y es manifiesto que también es la mayor medida pues nada mayor a CD puede medir a CD. Pero si CD no mide a AB entonces algún número quedará de ABy CD, el menor siendo continuamente restado del mayor y que medirá al número que le precede. Porque una unidad no quedará pues si no es así, AB y CD serán primos uno del otro [Prop. VII.1], lo cual es lo contrario de lo que se supuso.

Por tanto, algún número queda que medirá el número que le precede. Y sea CD midiendo BE dejando EA menor que sí mismo y sea EA midiendo DF dejando FC menor que sí mismo y sea FC medida de AE. Entonces, como FC mide AE yAE mide DF, FC será entonces medida de DF. Y también se mide a sí mismo. Por tanto también medirá todo CD. Y CDmide a BE. Entonces CF mide a BE y también mide a EA. Así mide a todo BA y también mide a CD. Esto es, CF mide tanto a AB y CD por lo que es una medida común de AB y CD.

Afirmo que también es la mayor medida común posible porque si no lo fuera, entonces un número mayor que CF mide a los números AB y CD, sea éste G. Dado que G mide a CD y CD mide a BE, G también mide a BE. Además, mide a todo BApor lo que mide también al residuo AE. Y AE mide a DF por lo que G también mide a DF. Mide también a todo DC por lo que mide también al residuo CF, es decir el mayor mide al menor, lo cual es imposible.

Por tanto, ningún número mayor a CF puede medir a los números AB y CD. Entonces CF es la mayor medida común deAB y CD, lo cual se quería demostrar.

En lenguaje moderno, el algoritmo se describe como sigue:

1. Dados dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB tantas veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD es la máxima medida común.

2. Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD. Si al final no queda un residuo, EAes la medida común. En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a EA.

3. El proceso se repite hasta que en algún momento no se obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es la mayor medida común.

El hecho de que los segmentos son conmesurables es clave para asegurar que el proceso termina tarde o temprano.

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Factorización única

Números primos

Un número primo es un número entero mayor que 1 que sólo es dividido exactamente por 1 y él mismo. Lee más sobre números primos y compuestos.

Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17..., y tenemos una lista de números primos si necesitas más.

Factores

Los "factores" son los números que multiplicas juntos para obtener otro número:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/factor-2x3.gif

Factorización en primos

"Factorizar en primos" es averiguar qué numeros primos tienes que multiplicar juntos para obtener el número original.

Ejemplo 1

¿Cuáles son los factores primos de 12?

Es mejor empezar por el número primas pequeño, que es 2, así que comprobamos:

12 ÷ 2 = 6

Pero 6 no es primo así que tenemos que factorizarlo también:

6 ÷ 2 = 3

Y 3 es primo, así que:

12 = 2 × 2 × 3

Como ves, cada factor es un número primo, así que la respuesta es correcta - la factorización en primos de 12 es 2 × 2 × 3, también podemos escribir 2² × 3

Congruencias

Congruencia, del latín congruentia, es la coherencia o relación lógica. Se trata de una característica que se comprende a partir de un vínculo entre 2 o más cosas. Por ejemplo: “No tiene congruencia que quieras hacerle un regalo a la persona con quien mantienes un litigio judicial”, “El juez detectó varias faltas de congruencia entre las declaraciones del acusado y las pruebas”, “Cada parte de este sistema tiene congruencia con las demás”.

Para la matemática, la congruencia es la expresión algebraica que expresa la igualdad de los restos de las divisiones de dos números congruentes por su módulo (un número natural distinto de 0). Esta expresión se representa con tres rayas horizontales entre los números y, si les asígnanoslas variables a y b, se lee de la siguiente forma: a es congruente con b módulo m.

La congruencia matemática, por lo tanto, refiere a dos números enteros que tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural distinto de cero (el módulo).

Por otro lado, para la identidad matemática, el concepto de congruencia puede hacer referencia al pequeño teorema de Fermat (uno de los más prominentes en relación con la divisibilidad), que presenta la siguiente fórmula: si tenemos el numero primo, entonces para todo número natural a se da que a elevado a la pes congruente con a módulo p.

Este mismo teorema suele presentarse de otra forma, aunque ambas fórmulas son equivalentes: si tenemos el número primo p, entonces para todo a, número natural primo relativo con p, a elevado a la p-1 es congruente con 1 módulo p. En otras palabras, si restamos a al resultado de elevar dicho número a la p, obtenemos un número divisible por p.

Además, el término congruencia se usa para expresar una ecuación con un mínimo de una incógnita; en este caso, se pretende saber si existe una solución, o más de una.

Para la congruencia vista desde el punto de la geometría elemental, véase congruencia (geometría).

Congruencia es un término, usado en la teoría de números, para designar una relación entre dos números enteros $a\,\textstyle\text{y}\displaystyle\,b$ que tienen el mismo resto mediante una división euclidiana¹ por un número natural $m\, \ne\, 0$ , llamado el módulo; esto se denota con la notación

$a \equiv b \pmod m$

que se lee: " $a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$ ".² Las siguientes expresiones son equivalentes:

· $a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$

$a\equiv b\pmod m$

· El resto de $a\,$ entre $m\,$ es el mismo resto de $b\,$ entre $m\,$

$a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m$

· $m\,$ divide exactamente a la diferencia de $a\,$ y $b\,$

$m\mid a-b$

· $a\,$ se puede escribir como la suma de $b\,$ y un múltiplo de $m\,$

$\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos elpequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p\,$ y cada entero $a\,$ no divisible por $p\,$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}$ , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x \equiv 4\pmod{11}$ y $x\equiv 7 \pmod{11}$ , es decir $x\,$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4\,$ y $11k+7\,$ . Contrariamente la congruencia $x^2-2 \equiv 0 \pmod{11}$ , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

El campo de los números reales

En matemáticas, los números reales (designados por $\mathbb{R}$ ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: $\sqrt{5}, \pi$ , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.¹

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.² En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Los números racionales

En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo,¹ es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien $\mathbb{Q}$ , en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ), y es un subconjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma comorepresentante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre $\mathbb{Z}$ .

Estructura de campo ordenado decimales periódicos y racionales

Ordenar decimales

Ordenar decimales puede ser complicado. Es porque normalmente vemos dos números como 0,42 y 0,402 y decimos que 0,402 debe de ser mayor porque tiene más cifras.

Si sigues este método aprenderás a ver qué decimales son más grandes.

Ejemplo

Ordena estos decimales:

0,402 0,42 0,375 1,2 0,85

La tabla sería así:

Unidades	Punto decimal	Décimos	Centésimos	Milésimos
0	·	4	0	2
0	·	4	2	0
0	·	3	7	5
1	·	2	0	0
0	·	8	5	0

Compara las unidades.		Hay un 1 y después hay ceros, así que 1,2 es el número más grande (escríbelo donde vayas a poner la respuesta y táchalo de la tabla).
Compara las décimas.		El 8 es el mayor, así que 0,85 es el siguiente en valor.
Hay dos números con 4 "décimas" así que pasamos a las "centésimas" para desempatar		Un número tiene un 2 y el otro un 0 en las centésimas, así que el 2 gana. Entonces, 0,42 es mayor que 0,402
Volvemos atrás a comparar las décimas		0,375 es el siguiente, le sigue 0,2

Así que los decimales ordenados de mayor a menor son:

1,2 0,85 0,42 0,402 0,375

Reales de raíces positivos

La regla de los signos de Descartes

En los últimos días se ha nombrado en los comentarios del post Una posible demostración maravillosa del UTF un resultado conocido como regla de los signos de descartes relacionado con el número de soluciones positivas de una ecuación polinómica. Este artículo va a servir para presentar esta regla, dar alguna pincelada de su historia y también para demostrarla.

Qué es la regla de los signos de Descartes

Supongamos que tenemos el polinomio

. Si igualamos

a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendríamos la siguiente lista:

$\{1,3,0,-5,1,-7 \}$

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del 3al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando

al número de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio

, tendríamos entonces que en este caso

Por otra parte, si utilizamos un programa informática para calcular las raíces de dicha ecuación (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solución real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada).

Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación

Exponentes racionales

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número enteroo cero.

Se llama potencia a una expresión de la forma

, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero[editar]

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

(1) $\begin{array}{ll} a^1 = & a \\ a^2 = & a \times a \\ \vdots & \vdots \\ a^n = & \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}}, \end{array}$

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Valor absolutos

En matemática, el valor absoluto o módulo¹ de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real $a\,$ está definido por:²

$|a| = \left \{ \begin{array}{rcl} a, & \mbox{si} & a \ge 0 \\ -a, & \mbox{si} & a < 0 \end{array} \right .$

Por definición, el valor absoluto de $a\,$ siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\,$ es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.

La función valor absoluto una función continua definida por trozos.

Aproximación

Aproximación es una representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.

Aunque en matemáticas la aproximación típicamente se aplica a números, también puede aplicarse a objetos tales como las funciones matemáticas, figuras geométricas o leyes físicas.

En casos de información incompleta, que impide el uso de representaciones exactas, pueden usarse aproximaciones. Por otra parte existen problemas que son demasiado complejos para resolverse analíticamente, o bien imposibles de resolver con las herramientas disponibles. En estos casos, una aproximación puede arrojar una solución suficientemente exacta, reduciendo significativamente la complejidad del problema y el costo de su solución.

Por ejemplo, los físicos muchas veces aproximan la forma de la Tierra como esfera aunque son posibles representaciones más exactas (geoide), porque muchos fenómenos físicos —p.ej. la gravedad— son mucho más fáciles de calcular para una esfera que para cuerpos de otras formas menos regulares.

La aproximación puede efectuarse en pasos sucesivos. Por ejemplo, es difícil analizar exactamente el movimiento de varios planetas en órbita alrededor de una estrella (Problema de los tres cuerpos), a causa de las interacciones gravitacionales entre ellos, por lo que se efectúa una solución aproximada realizando iteraciones. Durante la primera interacción, se ignoran las interacciones gravitacionales entre los planetas y la estrella se supone fija. Si se requiere una solución más precisa, se realiza otra interacción, usando las posiciones y velocidades de los planetas que se obtuvieron en la primera iteración, pero agregando una interacción gravitacional de primer orden entre los cuerpos. Este proceso puede repetirse hasta obtener una solución suficientemente precisa.

El tipo de aproximación a emplear depende de la información disponible, del grado de exactitud requerido, de la sensibilidad del problema a estos datos y del ahorro (usualmente de tiempo y de esfuerzo) que permite lograr.

algebra 2

sábado, 2 de agosto de 2014